勒让德多项式的有关证明

题目

勒让德多项式的有关证明
求证勒让德多项式：Pn(x)=((x^2-1)^n)的n阶导数/(2^n*n!)在(-1,1)内有n个根.

答案

这个证明可以分为三步进行：1.没有偶数重的根；2.没有大于1的奇数重的根 3.有n个根（包含重根）
由1 2可得只有单根,再综合3即可得证.
这个定理的普遍说法是：标准直交系中的多项式Pn所有根都是单根,且都在区间[a,b]内.