如图,AC是正方形ABCD的对角线,点O是AC的中点,点Q是AB上一点,连接CQ,DP⊥CQ于点E,交BC于点P,连接OP,OQ; 求证: (1)△BCQ≌△CDP; (2)OP=OQ.

如图,AC是正方形ABCD的对角线,点O是AC的中点,点Q是AB上一点,连接CQ,DP⊥CQ于点E,交BC于点P,连接OP,OQ; 求证: (1)△BCQ≌△CDP; (2)OP=OQ.

题目
如图,AC是正方形ABCD的对角线,点O是AC的中点,点Q是AB上一点,连接CQ,DP⊥CQ于点E,交BC于点P,连接OP,OQ;
求证:
(1)△BCQ≌△CDP;
(2)OP=OQ.
答案
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠PCD=90°,BC=CD,(2分)
∴∠2+∠3=90°,
又∵DP⊥CQ,
∴∠2+∠1=90°,
∴∠1=∠3,(4分)
在△BCQ和△CDP中,
∠B=∠PCD
BC=CD
∠1=∠3

∴△BCQ≌△CDP.(5分)
(2)连接OB.
(6分)
由(1):△BCQ≌△CDP可知:BQ=PC,(7分)
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,AB=BC,
而点O是AC中点,
BO=
1
2
AC=CO,∠4=
1
2
∠ABC=45°=∠PCO
,(9分)
在△BOQ和△CDP中,
BQ=CP
∠4=∠PCO
BO=CO

∴△BOQ≌△COP,
∴OQ=OP.(10分)
(1)根据正方形的性质和DP⊥CQ于点E可以得到证明△BCQ≌△CDP的全等条件;
(2)根据(1)得到BQ=PC,然后连接OB,根据正方形的性质可以得到证明△BOQ≌△COP的全等条件,然后利用全等三角形的性质就可以解决题目的问题.

正方形的性质;全等三角形的判定与性质.

解答本题要充分利用正方形的特殊性质.注意在正方形中的特殊三角形的应用,利用它们构造证明全等三角形的条件,然后通过全等三角形的性质解决问题.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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