如图，点P在圆O外，PA与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A关于直线PO对称，已知OA=4，PA=43．求： （1）∠POA的度数； （2）弦AB的长； （3）阴影部分的面积．

题目

如图，点P在圆O外，PA与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A关于直线PO对称，已知OA=4，PA=4

3

．求：
（1）∠POA的度数；
（2）弦AB的长；
（3）阴影部分的面积．

答案

（1）∵PA是圆O的切线，切点是A．
∴OA⊥PA．
在Rt△APO中，tan∠POA=

PA

OA

＝

3

，
∴∠POA=60°；3分
（2）设AB与PO相交于点D，如图，
∵点B与点A关于直线PO对称，
∴AB⊥PO，且AB=2AD，
在Rt△ADO中，AD=OAsin60°=2

3

，
∴AB=2AD=4

3

；4分
（3）设阴影部分面积为s，
则S=S_△OAP-S_扇形AOC，
∵S_△OAP=8

3

，S_扇形AOC=

8π

3

，
∴S=8（

3

−

π

3

）．3分

（1）根据AP是圆的切线，则得到△OAP是直角三角形，根据OA，PA的值，就可以∠POA的度数；
（2）AB⊥PO，设AB与PO相交于点D，则AB=2AD，在直角△OAD中，根据三角函数就可以求出AD的长，从而求出AB的长；
（3）设阴影部分面积为s，则S=S_△OAP-S_扇形AOC，分别求出△OAP与扇形AOC的面积就可以求出．

本题考点：扇形面积的计算；切线的性质．

考点点评：本题主要考查了垂径定理，三角函数，求阴影部分的面积可以转化为一些规则图形的面积的和或差来计算．