在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a-b）sinB=asinA-csinC，且a2+b2-6（a+b）+18=0，则AB•BC+BC•CA+CA•AB=_．

题目

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a-b）sinB=asinA-csinC，且a²+b²-6（a+b）+18=0，则

AB

•

BC

+

BC

•

CA

+

CA

•

AB

=______．

答案

由已知（a-b）sinB=asinA-csinC，即asinA-csinC=（a-b）sinB，根据正弦定理，得，a2-c2=（a-b）b，即a2+b2-c2=ab．由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab=12．又C∈（0，π）．所以C=π3．a2+b2-6（a+b）+18=0，可得（a-3）...

通过正弦定理化简已知表达式，然后利用余弦定理求出C的余弦值，得到C的值．通过a2+b2-6（a+b）+18=0，求出a，b的值，推出三角形的形状，然后求解数量积的值．

本题考点：正弦定理的应用；平面向量数量积的运算．

考点点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的值的求法三角形形状的判断，向量数量积的应用，考查计算能力．