设向量a=（4,3）,向量a在向量b上的投影为（5√2）/2,向量b在x轴上的投影为2,且︱b︱＜1,则向量b为?

题目

设向量a=（4,3）,向量a在向量b上的投影为（5√2）/2,向量b在x轴上的投影为2,且︱b︱＜1,则向量b为?

答案

设向量b = ( m,n)
向量b在x轴上的投影为2
所以m = 2,
则b = (2,n),因为a=(4,3),
向量a在向量b上的投影为|a|cosα（其中α为向量a,b的夹角）
|a|cosα=a•b /|b|
根据已知可得：a•b /|b| = 5√2/2
[(4,3)•(2,n)]/√(4+n^2) = 5√2/2
(8+3n)/√(4+n^2) = 5√2/2
2(8+3n)= 5√2√(4+n^2)
4(8+3n)^2 = 50(4+n^2)
14n^2-192n-56=0
7n^2 -96n - 28 =0
n = 14或 -2/7
因为|b| < 14,所以n = 14舍去,
∴向量b = ( 2,-2/7).