函数f(x)=ax2+(2a−1)x+1/4的值域为[0,+∞),则实数a的取值范围是_.

函数f(x)=ax2+(2a−1)x+1/4的值域为[0,+∞),则实数a的取值范围是_.

题目
函数f(x)=
ax2+(2a−1)x+
1
4
的值域为[0,+∞),则实数a的取值范围是______.
答案
由题意,∵函数f(x)=
ax2+(2a−1)x+
1
4
的值域为[0,+∞),
a>0
a−(2a−1)2
4a
≤0
或a=0
a>0
a−(2a−1)2
4a
≤0
时,解得0<a≤
1
4
或a≥1
∴实数a的取值范围是[0,
1
4
]∪[1,+∞)
故答案为:[0,
1
4
]∪[1,+∞).
根据函数f(x)=
ax2+(2a−1)x+
1
4
的值域为[0,+∞),分类讨论,建立不等式,即可求得实数a的取值范围.

二次函数在闭区间上的最值.

本题考查函数的值域,考查分类讨论的数学思想,考查学生的计算能力,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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