求高手解答一道高中三角函数求最值难题（原题为物理）,

题目

求高手解答一道高中三角函数求最值难题（原题为物理）,
求S=10cosα（sinα+√（sin²α+2））的角度α为多少时y最大.
本来是一道物理求子弹发射角度多少时射程最远的题目.原题大概是：子弹发射,不计重力,求角度多少时射程最远,射出点离地面高度h=10m,初速度为v0=10m/s,计发射角为α,不计空气阻力的影响,重力加速度g=10m/s².反正我解了之后得出射程S=10cosα（sinα+√（sin²α+2））,但是不知道怎么求α为多少时能够使射程S最大?

答案

此题的最佳解法不是直接用三角
而是用包络线法
取发射点为原点建系
知运动时间为 t 时,子弹的坐标为(10 * t * cosα , 10 * t * sinα - 5 t²)
则消去参数 t 得运动轨迹 y= - x² / (20cos²α) + x * tanα
令 z=tanα 为主元 知 1/cos²α = 1 + z² 将 x, y 看作参数
可得关于 z 的一元二次方程 (x²/20) * z² - x * z + y + x²/20=0
此方程有实根的临界条件为 Δ = x² - 4 (x²/20)(y + x²/20)=0
x不等于0时 y = 5 - x²/20 （此方程代表包络线）
故 y = -10 时 x = 10√3 为最大射程
此时 z = √3 /3 即 α=30 度 时 射程S最大 为 10m