已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=an+2 an，求数列{bn}的前n项和为Sn．

题目

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=2，且a₂，a₃，a₄+1成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n+2 

答案

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由a₁=2和a₂，a₃，a₄+1成等比数列，
得（2+2d）²=（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=-1，…（2分）
当d=-1时，a₃=0，与a₂，a₃，a₄+1成等比数列矛盾，舍去．∴d=2，…（4分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n，
即数列{a_n}的通项公式a_n=2n．…（6分）
（2）∵bn＝2n+22n＝2n+4n…（8分）
∴Sn＝(2+4)+(4+42)+…+(2n+4n)
=（2+4+…+2n）+（4+4²+…+4ⁿ）
=

n(2+2n)

2

+

4(1−4n)

1−4

=n2+n+

4

3

(4n−1)．