n次方程至多有n个根的证明

题目

n次方程至多有n个根的证明
好像要用罗尔定理吧

答案

可以用罗尔定理证,假设n次方程有n+1个根,分别为x1,x2.x(n+1)
由罗尔定理得(x1,x2)(x2,x3).(xn,x(n+1))内存在y1,y2...yn,使得f'(y1)=f'(y2)=.f'(yn)=0
因为n次方程求一次导后变为n-1次方程,也就是说(n-1)次方程有n个根
依次类推,不断使用罗尔定理,最终得到1次方程有2个根或者0次方程（0次方程也就是常数）有1个根,这个显然是矛盾的.