动手实验：利用矩形纸片剪出一个正六边形纸片,利用这个正六边形制片做一个如图无盖的正六棱柱（棱柱底面为正六边形)

题目

动手实验：利用矩形纸片剪出一个正六边形纸片,利用这个正六边形制片做一个如图无盖的正六棱柱（棱柱底面为正六边形)
(1)做一个这样的正六棱柱所需最小的矩形纸片的长与宽的比为多少
（2）在（1）的前提下,当矩形的长为2a时,要使无盖正六棱柱侧面积最大 正六棱柱的高为多少?并求此时矩形纸片利用率?（矩形纸片利用率=无盖正六棱柱表面积/矩形纸片的面积）半小时内回答者加再追加30分

答案

(1)如图,由于正六边形内角和为(6-2)×180°=720°,则其一角的角平分线所分的两个角同为60°；

           设所需矩形的长宽分别为A、B,剪出的正六边形径长为L,那么

                          A=2L,B=2L·sin60°=√3L；

           因此,所求长宽比为A：B=(2L)：(√3L)=2√3：3.

       (2)依题意并结合图形知,A=2a,B=√3a,L=a,并设所求高为h,正六棱柱底面边长为k,那么

                         k=2·(L-h/sin60°)·cos60°=a-2√3h/3

           则无盖正六棱柱侧面积为S=6·k·h=6·(a-2√3h/3)·h

                                                              =﹣4√3(h-√3a/4)²+3√3a²/4

           故①当h=√3a/4时,S取得最大值为3√3a²/4,且k=√3a/2；

               ②此时矩形纸片利用率：ω=(3√3a²/4+3√3k²/2)/(2a·√3a)×100%

                                                        =(3√3a²/4+9√3a²/8)/(2√3a²)×100%

                                                        =(3/4+9/8)/2×100%

                                                        =15/16×100%

                                                        =93.75%.

                 （注：正六边形面公式S=3√3L²/2,L为正六边形边长）

           因此,所求正六棱柱的高为√3a/4,且此时矩形纸片利用率为93.75%.

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