如图所示，在平面直角坐标系中，第一象限的角平分线OM与反比例函数的图象相交于点M，已知OM的长是22． （1）求点M的坐标； （2）求此反比例函数的关系式．

题目

如图所示，在平面直角坐标系中，第一象限的角平分线OM与反比例函数的图象相交于点M，已知OM的长是2

2

．

（1）求点M的坐标；
（2）求此反比例函数的关系式．

答案

（1）过点M作MN⊥x轴于点N，设点M的坐标为M（x₀，y₀）
∵点M在第一象限的角平分线上
∴x₀＞0，y₀＞0且x₀=y₀
∴ON=x₀，MN=y₀，
∵OM=2

2

∴
在Rt△OMN中，由勾股定理得：
∴ON²+MN²=OM²
∴x₀²+y₀²=（2

2

）²
∴x₀=y₀=2
∴M（2，2）（8分）
（2）设反比例函数的关系式为y＝

k

x

(k≠0)
∵过点M（2，2）
∴k=4
∴y＝

4

x

（1）作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求出M点的坐标；
（2）用待定系数法求出反比例函数的解析式．

本题考点：待定系数法求反比例函数解析式；角平分线的定义．

考点点评：本题把勾股定理与角平分线，反比例函数结合起来，考查了学生对所学知识的综合运用能力．