对任意实数,有x^4 =a0+a1(x-2)+a2(x-2)^2+a3(x-3)^3+a4(x-2)^4,则a2的值是?

题目

对任意实数,有x^4 =a0+a1(x-2)+a2(x-2)^2+a3(x-3)^3+a4(x-2)^4,则a2的值是?
下面这位答的是错的,是正的.所以没有48

答案

由于对于任意实数有等式成立,那么x的各次项系数必须为0.并且常数项为0
显而易见x^4系数为a4-1=0,则a4=1
x^3的系数很显然可以看出了,由于(x-2)^4中x^3系数为-8,则有x^3系数为(a3-8),则a3=8
这时候x^2的系数可以看出来了,由于(x-2)^4中x^2系数为24,(x-3)^3中x^2系数为-72,则x^2系数为24-72+a2=0
则a2=48
也可以如下
原式展开有：
A4(x^4-8x^3+24x^2-32x+16)+a3(x^3-9x^2+27x-27)+a2(x^2-4x+4)+a1(x-2)+a0-x^4=0
(a4-1)x^4+(a3-8a4)x^3+(24a4-9a3+a2)x^2+(27a3-32a4-4a2+a1)x+(16a4-27a3+4a2-2a1+a0)=0
令系数为0,解得：
A4=1
A3=8
A2=48
答案应该是48,刚开始算错了!