f(x)在[a,b]连续,在(a,b)二阶连续可导,证明存在c,使f(a)+f(b)-2f((a+b)/2)=1/4f'(c)
题目
f(x)在[a,b]连续,在(a,b)二阶连续可导,证明存在c,使f(a)+f(b)-2f((a+b)/2)=1/4f''(c)
用泰勒定理,同时因为二阶连续可导要巧妙的用一下介值定理,
答案
题目有点错,以前做过证明如下:
构造F(x)=f(x+(b-a)/2)-f(x)
在区间[a,(a+b)/2]上用两次Lagrange 中值定理得
F((a+b)/2)-F(a)=F'(ε)((a+b)/2-a)
=[f'(ε+(b-a)/2)-f'(ε)][(b-a)/2]
=f''(c)[(b-a)^2/4] 其中c属于[a,(a+b)/2]
而F((a+b)/2)-F(a)=f(b)-2f[(a+b)/2]+f(a)所以得证.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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