什么是积分因子?

题目

什么是积分因子?

答案

积分因子就是设法找到一个e的幂函数,乘上微分方程后,使得原来的微分方程变成一个全微分方程.
就本题示范如下：
dy/dx = x + y
(x + y)dx - dy = 0
∵M = x+y,N = -1
M/y = 1,N/x = 0
[M/y -N/x]/N = -1
∴ I = e^[∫(-1)dx]=e^(-x)
d[e^(-x)(x + y)]=e^(-x)dx
e^(-x)(x + y)=-e^(-x)+C （C为积分常数）
x+y=-1+C*e^x
解为：y=-x-1+C*e^x （答案）
验证：dy/dx=-1+ce^x
=-1+(x+y+1)
=x+y 【解答正确】
1、将微分方程写成：
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 的形式
2、把上面的形式想像得绝对完美一些,
如果M(x,y)来自于一个多元函数对x的偏导；
如果N(x,y)来自于一个多元函数对y的偏导.
那么只要将M(x,y)对x积分；N(x,y)对y积分.
3、假如是这样,假设原函数是U(x,y)
M(x,y)=U/x,N(x,y)=U/y
dU = (U/x)dx + (U/y)dy
由于二阶导数的先后不影响结果,即：
U/xy =U/yx
4、将M(x,y)对y求偏导,N(x,y)对x求偏导；
然后相减：M/y -N/x
5、将M/y-N/x除以M(x,y),结果如果是y的函数,就对y积分；
将M/y-N/x除以N(x,y),结果如果是x的函数,就对x积分.
6、将积分结果作为e的幂,这就是积分因子.
7、将积分因子乘上去,就可求解了.