(n-1)^2x^2-5n(n-1)x+(6n^2-n-1)=0至少有一个整数根.则所有n值的和为?为什么?

题目

(n-1)^2x^2-5n(n-1)x+(6n^2-n-1)=0至少有一个整数根.则所有n值的和为?为什么?

答案

(n-1)^2x^2-5n(n-1)x+(6n^2-n-1)=0即[(n-1)x-(2n+1)][(n-1)x-(3n-1)]=0①
∵①至少有一个整数根
∴n-1≠0且(2n+1)/(n-1)与(3n-1)/(n-1)中至少有一个为整数
而(2n+1)/(n-1)=2+3/(n-1)
(3n-1)/(n-1)=3+2/(n-1)
∴n-1=±1,±2,±3
n=0,2,-1,3,-2,4
则所有n值的和为0+2-1+3-2+4=6