如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠CBA，∠CDA=90°，∠BCD=78°，AB=2AD，求∠CAD的度数．

题目

如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠CBA，∠CDA=90°，∠BCD=78°，AB=2AD，求∠CAD的度数．

答案

在CD上取点E，使∠EAD=60°，
∵∠D=90°，
∴∠AED=30°，
∴AE=2AD，
∵AB=2AD，
∴AE=AB，
∵∠CDA=90°，∠BCD=78°，
∴∠DAB=∠ABC=

1

2

（360°-90°-78°）=96°，
∴∠EAB=96°-60°=36°，
作∠ABE的角平分线BF交AE于F，则BF把△ABE分成两个等腰三角形，
∴AF=BF=BE，
∵∠BCE=78°，∠BEC=180°-30°-72°=78°，
∴∠BEC=∠BCE，
∴AF=BF=BE=BC．
∵∠FBC=∠ABC-∠ABF=96°-36°=60°，
连接CF得到△BFC为等边三角形，
∴AF=BF=FC，
∵∠CFE=∠BFE-∠BFC=72°-60°=12°，
∴∠FAC=

1

2

∠CFE=

1

2

×12°=6°，
∴∠CAD=∠CAE+∠EAD=6°+60°=66°．