在△ABC中,若sin²A + sin²B = sin C,且A,B都是锐角,求A+B=

题目

在△ABC中,若sin²A + sin²B = sin C,且A,B都是锐角,求A+B=

答案

sin²A + sin²B = sin C
即sin²A + sin²B =sin(a+b)
由倍角公式,得(1-cos2a)/2+(1-cos2b)/2=sin(a+b)
即1-（cos2a+cos2b)/2=sin(a+b)
由和差化积,得1-cos(a+b)cos(a-b)=sin(a+b)
即cos(a+b)cos(a-b）+sin(a+b)=1
因为sin(a+b)=0,而cos(a-b）>0,故cos(a+b)>=0,
所以0＜a+b＜=90
sin(a+b)>=[sin(a+b)]^2,1=cos(a+b)cos(a-b）+sin(a+b)>=cos(a+b)cos(a-b）+[sin(a+b)]^2-1+1=cos(a+b)cos(a-b）-[cos(a+b)]^2+1,
即cos(a+b)cos(a-b）