若a>0,b>0,则√[(a²+b²)/2],(a+b)/2,√ab,2ab/(a+b)的大小关系

题目

若a>0,b>0,则√[(a²+b²)/2],(a+b)/2,√ab,2ab/(a+b)的大小关系

答案

∵a>0,b>0,√[(a²+b²)/2],(a+b)/2,√ab,2ab/(a+b)都大于0
∴每个式子都平方再乘以4得：
2a²+2b²,(a+b)²,4ab,16a²b²/(a+b)²
(2a²+2b²)-(a+b)²=(a-b)²≥0
(a+b)²-4ab=(a-b)²≥0
√ab/[2ab/(a+b)]=(a+b)/[2√(ab)]=[(√a-√b)²+2√(ab)]/[2√(ab)]≥1
∴2a²+2b²≥(a+b)²≥4ab≥16a²b²/(a+b)²
√[(a²+b²)/2]≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)