解析式法求函数值域的本质

题目

解析式法求函数值域的本质
比如说求y=2x^2+2x+3/(x^2+x+1)的值域
整理上式得(y-2)x^2+x(y-2)+y-3=0
当y=2时,-1=0,舍去
当y≠2时,令△≥0求出2＜y≤10/3即为所求
请问这样做的根据是什么?为什么令判别式大于等于零求出的y就是原函数的值域?请说明本质原因.

答案

y=2是关于x的一次方程
y≠2,是关于x的两次方程,两次方程有判别式,如果方程有实数解,则判别式△≥0,这样x才有实数解,x有实数解,代入原式中,y才有实数解,如果判别式△<0,则二次方程无实数解,那么y就没有实数解．所以必须要满足△≥0