若0≤α≤2π，sinα＞3cosα，则α的取值范围是_．

题目

若0≤α≤2π，sinα＞

3

cosα，则α的取值范围是______．

答案

∵0≤α≤2π，sinα＞

3

cosα，
∴sinα-

3

cosα=2（

1

2

sinα-

3

2

cosα）=2sin（α-

π

3

）＞0，
∴2kπ＜α-

π

3

＜2kπ+π，k∈Z．
∴2kπ+

π

3

＜α＜2kπ+

4π

3

，k∈Z．
∵0≤α≤2π，
∴

π

3

＜α＜

4π

3

，
故答案为：

π

3

＜α＜

4π

3

．

利用三角恒等变换可得sinα-

3

cosα=2（

1

2

sinα-

3

2

cosα）=2sin（α-

π

3

）＞0，利用正弦函数的单调性，结合0≤α≤2π，即可得到答案．

本题考点：同角三角函数基本关系的运用．

考点点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，着重考查正弦函数的单调性质，属于中档题．