已知：角BAC=90,AB=AC,M是AC的中点,AD垂直于BM于E,交BC于D.求证：角AMB=角DMC

题目

已知：角BAC=90,AB=AC,M是AC的中点,AD垂直于BM于E,交BC于D.求证：角AMB=角DMC

答案

证明:
延长 AD.在延长线上取点F,连接CF,并使得 ∠ACF = 90 度
则
∠F + ∠FAC = 90 度
根据已知条件 AD垂直于BM于E,则
∠BMA + ∠FAC = 90度
所以
∠F = ∠BMA
在三角形 BMA 和 三角形AFC 中
∠BAM = ∠ACF = 90 度
∠BMA = ∠F
AB = AC
所以 △BMA ≌ △AFC
对应边相等,则
AM = CF
M 是 AC 中点,所以
CF = CM = AM
△ABC 是等腰直角三角形 ,所以
∠MCD = 45 度
∠FCD = ∠ACF - ∠MCD = 90 - 45 = 45 度
所以
∠FCD = ∠MCD
△MCD 和 △FCD 中
CM = CF
∠FCD = ∠MCD
CD = CD
所以
△MCD ≌ △FCD
对应角相等,则
∠DMC = ∠DFC
前面已经证明 ：∠DFC = ∠AMB
因此
∠AMB = ∠DMC
(另外,本题目还可以从D 向 AC 做垂线,通过相似形来证明.但是 不清楚 楼主是否学到相似形了.所以采用普通的全等三角形方法进行了证明）