积分号上限1下线0{（根号下1-（x-1）的平方）-x}dx根据几何意义求值

题目

积分号上限1下线0{（根号下1-（x-1）的平方）-x}dx根据几何意义求值
如题.

答案

∫(0,1){√[1-(1-x)²]-x}dx的几何意义是：以1为半径的圆的四分之一面积,减去直角边长为1的直角等腰三角形的面积
∵以1为半径的圆的四分之一面积=π/4
直角边长为1的直角等腰三角形的面积=1/2
∴∫(0,1){√[1-(1-x)²]-x}dx=π/4-1/2
现在直接求此积分：
∫(0,1){√[1-(1-x)²]-x}dx=∫(0,1){√[1-(1-x)²]dx-∫(0,1)xdx
=1/2∫(0,π/2)[1+cos(2t)]dt-(x/2)|(0,1)
(在第一个积分中设(1-x)=t)
=1/2[t+sin(2t)/2]|(0,π/2)-1/2
=1/2(π/2+0)-1/2
=π/4-1/2
∴两种运算的结果完全一样
故∫(0,1){√[1-(1-x)²]-x}dx=π/4-1/2