在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是棱BC与C1D1中点,求证：（1）EF平行平面BDD1B1

题目

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是棱BC与C1D1中点,求证：（1）EF平行平面BDD1B1
（2）AC⊥EF
(3) 平面AA1C1C ⊥平面AB1D1

答案

(1)取B1C1的中点H 连接FH和GH
∵E、F分别是棱BC与C1D1中点
∴FH∥B1D1 HE∥BB1
∴FH∥平面BDD1B1 HE∥平面BDD1B1
∴平面FHE∥平面BDD1B1
∴EF∥平面BDD1B1
(2)取CD中点G 连接GE
∴EG∥BD ∴GE⊥AC
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中
∴HE⊥AC
又GE交HE于E
∴AC⊥平面FCEG
∴AC⊥FE
(3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中
A1C1⊥B1D1 AA1⊥B1D1
AA1交A1C1于A1
∴B1D1⊥平面AA1C1C
又B1D1含于平面AB1D1
∴平面AB1D1⊥平面AA1C1C