一道关于椭圆的题目

题目

一道关于椭圆的题目
椭X^2/4+Y^2/3=1,AB分别是其左右顶点,P是X=4上的动点,若AP与椭圆的交点为A,M；BP与椭圆的交点为B,N,求证：角MBN是钝角.

答案

设P(4,t) ,t≠0
所以 直线PA: y=(t/6)(x+2)
与椭圆方程联立,消y,得：(t^2+27)x^2+4t^2x+4t^2-108=0
因为直线PA与椭圆的交点A(-2,0)已知,而由韦达定理得：x1x2=(4t^2-108)/(t^2+27)
所以 x2=2(27-t^2)/(t^2+27)……………………x1是A点的横坐标,x2是M点的横坐标
将x2代入直线PA的方程,得到M(2(27-t^2)/(t^2+27),18t/(t^2+27))
证明 角MBN是钝角,需且仅需证明 MBP是锐角
向量BM=(-4t^2/(t^2+27),18t/(t^+27))
向量BP=(2,t)
BM·BP=10t^2/(t^2+27)>0
所以 MBP是锐角
得证