一道函数题!求过程!

题目

一道函数题!求过程!
y=f(x)是R上的函数,其图像关于直线x=1对称,且关于点(-1,0)对称,则
A f(x)是奇函数
B f(x)是偶函数
C f(x+2010)关于点（-1,0）对称
D f(x+2010)关于直线x=1对称

答案

因为关于x=1对称
所以f(x-1)=f(x+1)
因为关于(-1,0)对称
设a,b是函数上关于(-1,0)对称的两点
则a+b=-2
f(a)=-f(b)
即f(x)=-f(-2-x)
由上两式可推
f(x)=f(x+2)
则f(x+2)=-f(-x-2)
f(x)非奇非偶
因为T=2
2010=2×1005
则f(x)=f(x+2010)
如果C成立
则有f(x+2012)=-f(-x-2012)=f(x)
显然不成立
如果D成立
则有f(x+2011)=f(x+2009)
即f(x+1)=f(x-1)
成立
选D