如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是等边三角形,AD=2,BD=2根号2

题目

如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是等边三角形,AD=2,BD=2根号2
（1）求PC,DB所成角的余弦值
（2）求PC与面PBD所成角的余弦值
（3）求点C到面PBD的距离
（不知道怎么弄图T T）

答案

1、底是正方形,
以A为原点,AB,AD为X轴、Y轴,从A作平面ABCD垂线为Z轴建立空间坐标系,
A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（2,2,0）,D（0,2,0）,
P（0,1,√3）,
向量PC=（2,1,-√3）,向量DB=（2,-2,0）,
向量PC•DB=4-2=2,
|PC|=2√2,|DB|=2√2,
cos=PC•DB/(|PC||DB|)=2/(2√2*2√2)=1/4.
PC,DB所成角的余弦值为1/4.
2、设平面PBC的法向量n=(x1,y1,1),
向量PD=（0,1,-√3）,向量PB=（2,-1,-√3）,
PD•n=y1-√3=0,y1=√3,
PB•n=2x1-y1-√3=0,
x1=√3,
n=(√3,√3,1),
向量PC=（2,1,-√3）
PC•n=2√3+√3-√3=2√3,
|PC|=2√2,|n|=√7,
设PC和法向量n成角为α1,
cosα1= PC•n/(|PC|*|n|)=2√3/(2√2*√7)
=√42/14,
设PC和平面PBD所成角为α,
α+α1=π/2,
sinα=cosα1=√42/14,
∴cosα=√（1-42/14^2）=√154/42,
∴PC与面PBD所成角的余弦值为√154/42.
3、|PC|=2√2,
设C至平面PBD距离为d,
d=|PC|*sinα==2√2*√42/14=2√21/7.
∴点C到面PBD的距离为2√21/7.