正三棱锥外接球的表面积怎么求

题目

正三棱锥外接球的表面积怎么求

答案

正三棱锥不等同于正四面体,正四面体必须每个面都是正三角形.而正三棱锥仅底面是正三角形,侧面是三个全等的等腰三角形.因此要求正三棱锥外接球的表面积,应该知道底面边长和三棱锥的高（或侧棱长）.设底面边长为a,三棱锥的高为h.可得底面的外接圆半径为√3a/3,进而在外接球的一个大圆中,设半径为r,由相交弦定理可得（√3a/3）²=h(2r-h),解得r=(a²/3+h²)/2h.
因此,正三棱锥外接球的表面积公式=4π[(a²/3+h²)/2h]²=π(a²/3+h²)²/h².