椭圆x^2/16+y^2/9=1,直线y=x+b与椭圆交于A,B两点,若向量OA+向量OB=向量OC,且C在椭圆上,求b

题目

椭圆x^2/16+y^2/9=1,直线y=x+b与椭圆交于A,B两点,若向量OA+向量OB=向量OC,且C在椭圆上,求b
有思路,计算太烦,

答案

∵A、B都在直线y＝x＋b上,∴可分别设A、B的坐标为（m,m＋b）、（n,n＋b）.
联立：y＝x＋b、x^2/16＋y^2/9＝1,消去y,得：x^2/16＋（x＋b）^2/9＝1,
∴9x^2＋16（x^2＋2bx＋b^2）＝16×9,∴25x^2＋32bx＋16b^2－16×9＝0.
显然,m、n是方程 25x^2＋32bx＋16b^2－16×9＝0 的两根,∴由韦达定理,有：
m＋n＝－32b/25.
由A（m,m＋b）、B（n,n＋b）,得：
向量OA＝（m,m＋b）、向量OB＝（n,n＋b）.
∴向量OA＋向量OB＝（m＋n,m＋n＋2b）,
∴依题意,有：向量OC＝（m＋n,m＋n＋2b）＝（－32b/25,－32b/25＋2b）.
∴点C的坐标为（－32b/25,－32b/25＋2b）.
∵点C在椭圆上,∴（－32b/25）^2/16＋（－32b/25＋2b）^2/9＝1,
∴32×2（b/25）^2＋18×2（b/25）^2＝1,∴（32＋18）×2（b/25）^2＝1,
∴100（b/25）^2＝1,∴10b/25＝1,或10b/25＝－1,∴b＝5/2,或b＝－5/2.
即：满足条件的 b 为 5/2,或 －5/2.