如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5.点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F.四边形MEFN面积的最大值是（　　

题目

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5.点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F.四边形MEFN面积的最大值是（　　）
A.

49

3

答案

如图，分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．
∵AB∥CD，
∴DG=CH，DG∥CH．
∴四边形DGHC为矩形，GH=CD=1．
∵DG=CH，AD=BC，∠AGD=∠BHC=90°，
∴△AGD≌△BHC（HL），
∴AG=BH=

1

2

（AB-GH）=3．
∵在Rt△AGD中，AG=3，AD=5，
∴DG=4．
∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，
∴∠MEF=90°，
∴ME=NF，ME∥NF，
∴四边形MEFN为矩形．
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠A=∠B．
∵ME=NF，∠MEA=∠NFB=90°，
∴△MEA≌△NFB（AAS）．
∴AE=BF，
设AE=x，则EF=7-2x，
∵∠A=∠A，∠MEA=∠DGA=90°，
∴△MEA∽△DGA，
∴

AE

AG

=

ME

DG

，
∴ME=

4

3

x，
S_矩形MEFN=ME•EF=

4

3

x（7-2x）=-

8

3

（x-

7

4

）²+

49

6

．
当x=

7

4

时，ME=

7

3

＜4，
∴四边形MEFN面积的最大值为

49

6

．
故选C．