初中几何：平行四边形ABCD中,AB=5,AD=8,∠A=120°,过点A任意引直线MN与BC相交,设顶点B,C,D到MN的

题目

初中几何：平行四边形ABCD中,AB=5,AD=8,∠A=120°,过点A任意引直线MN与BC相交,设顶点B,C,D到MN的
距离之和为d,求d的最大值和最小值.

答案

分别过顶点B,C,D作直线MN的垂线,垂足分别是F,G,H
当直线MN 与BC边相交时,设交点为E
因为S ΔABE+SΔACE=½S□ABCD=SΔADE
所以 ½AE·BF+½AE·CG=½AE·DH
即BF+CG=DH
所以d=BF+CG+DH=2DH
故当MN⊥AD时,DH的最大值是AD=8
此时,d的最大值是2AD=16
当E与C点重合时；
DH取得最小值
在△ABC中；由余弦定理得：
AC²=AB²+BC²-2AB×BC·cos60°
=25+64-40
=49
AC=7
∴DH=20√3/7
此时；d=BF+CG+DH=2DH=40√3/7
综上所述：dmax=16
dmin=40√3/7