如果点O是面积为1的四边形ABCD内的一点,且OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2,求证:四边形ABCD

题目

如果点O是面积为1的四边形ABCD内的一点,且OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2,求证:四边形ABCD
求证：四边形ABCD是正方形

答案

由点O向AB、BC、CD、AD作垂线,垂足依次为E、F、G、H.
由勾股定理,有：
OA^2＝AH^2＋OH^2、OA^2＝AE^2＋OE^2、OB^2＝BE^2＋OE^2、OB^2＝BF^2＋OF^2、
OC^2＝CF^2＋OF^2、OC^2＝CG^2＋OG^2、OD^2＝DG^2＋OG^2、OD^2＝DH^2＋OH^2,
将上述各式左右分别相加,得：
2（OA^2＋OB^2＋OC^2＋OD^2）
＝（AH^2＋OH^2）＋（AE^2＋OE^2）＋（BE^2＋OE^2）＋（BF^2＋OF^2）
　＋（CF^2＋OF^2）＋（CG^2＋OG^2）＋（DG^2＋OG^2）＋（DH^2＋OH^2）,
而OA^2＋OB^2＋OC^2＋OD^2＝2,
∴（AH^2＋OH^2）＋（AE^2＋OE^2）＋（BE^2＋OE^2）＋（BF^2＋OF^2）
　＋（CF^2＋OF^2）＋（CG^2＋OG^2）＋（DG^2＋OG^2）＋（DH^2＋OH^2）＝4·····①
∵S(四边形ABCD)＝1,
∴S(△OAB)＋S(△OBC)＋S(△OCD)＋S(△OAD)＝1,
∴（1/2）［（AE＋BE）OE＋（BF＋CF）OF＋（CG＋DG）OG＋（AH＋DH）OH］＝1,
∴2［（AE＋BE）OE＋（BF＋CF）OF＋（CG＋DG）OG＋（AH＋DH）OH］＝4,
∴2AH×OH＋2AE×OE＋2BE×OE＋2BF×OF＋2CF×OF＋2CG×OG＋2DG×OG＋2DH×OH＝4·····②
①－②,得：
（AH－OH）^2＋（AE－OE）^2＋（BE－OE）^2＋（BF－OF）^2
　＋（CF－OF）^2＋（CG－OG）^2＋（DG－OG）^2＋（DH－OH）^2＝0,
∴AH＝OH、AE＝OE、BE＝OE、BF＝OF、CF＝PF、CG＝OG、DG＝OG、DH＝OH,
∴AH＝DH＝OH、AE＝BE＝OE、BF＝CF＝OF、CG＝DG＝OG,
∴OA＝OD、OA＝OB、OB＝OC、OC＝OD,∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AH＝DH＝OH、AE＝BE＝OE、BF＝CF＝OF、CG＝DG＝OG,
∴AD、AB、BC、CD依次为△OAD、△OAB、△OBC、△OCD外接圆的直径,
∴OA⊥OD、OA⊥OB、OB⊥OC、OC⊥OD,而OA＝OB＝OC＝OD,
∴AD＝AB＝BC＝CD,∴四边形ABCD是正方形.