如图，P为△ABC内一点，∠BAC=30°，∠ACB=90°，∠BPC=120°．若BP=3，则△PAB的面积为 _ ．

题目

如图，P为△ABC内一点，∠BAC=30°，∠ACB=90°，∠BPC=120°．若BP=

3

，则△PAB的面积为 ___ ．

答案

如图，作△BPC的外接圆⊙O，交AC的延长线于D，连接BD、PD．∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°，∴BD是⊙O的直径．∵四边形BDCP是圆内接四边形，∴∠BDA=180°-∠BPC=60°，∴∠ABD=180°-∠BAC-∠BDA=180°-30°-60°=90°...

如图，作△BPC的外接圆⊙O，交AC的延长线于D，连接BD、PD．利用切线的性质和圆内接四边形的内对角互补得到∠BDA=180°-∠BPC=60°，所以∠ABD=180°-∠BAC-∠BDA=90°，即AB是⊙O的切线．设∠ABP=∠BDP=α．通过解直角△ABD、△BPD求得AB、AP的长度，然后由三角形的面积公式S=

1

2

absinC进行计算即可．

本题考点：圆的综合题．

考点点评：本题考查了圆的综合题．其中涉及到了圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形以及三角形的面积计算．此题的难点是作出△BPC的外接圆⊙O．