已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若对于任意的a∈[-3,0],x1,x2∈[0,2],不等式m-am2≥|f(x1)-f(x2)|恒成
题目
已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对于任意的a∈[-3,0],x1,x2∈[0,2],不等式m-am2≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,求实数m的取值范围.
答案
( I)f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a),①当a<1时,由f'(x)>0,得x<a或x>1,由f'(x)<0,得a<x<a,∴f(x)的增区间为(-∞,a),(1,+∞),减区间为(a,1);②当a=1时,f'(x)=6(x-1)...
(Ⅰ)求导数f'(x),令f'(x)=0,得极值点,按两极值点的大小关系分三种情况进行讨论解不等式f'(x)>0,f'(x)<0可得单调区间;
(Ⅱ)对于任意的x
1,x
2∈[0,2],不等式m-am
2≥|f(x
1)-f(x
2)|恒成立,等价于m-am
2≥|f(x
1)-f(x
2)|
max,由( I)易求f(x)的最大值、最小值,从而可得|f(x
1)-f(x
2)|
max,进而问题转化为对于任意的a∈[-3,0],m-am
2≥5-3a恒成立,构造关于a的一次函数g(a)=(m
2-3)a-m+5,a∈[-3,0],只需
,解出即可;
A:利用导数求闭区间上函数的最值 B:利用导数研究函数的单调性
本题考查利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值求解及恒成立问题,考查转化思想,考查学生分析解决问题的能力,属中档题.
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