11个连续两位数的乘积能被343整除,且乘积的末4位都是0,那么这11个数的平均数是多少

题目

11个连续两位数的乘积能被343整除,且乘积的末4位都是0,那么这11个数的平均数是多少

答案

11个连续两位数的个位必有1个2,1个5,1个0,所以乘积的末尾至少有2个0,如果其中包含25的倍数即25或50或75,则末尾增加1个0,如果第一个数和最后一个数的个位都是5或都是0,末尾再增加1个0,那么就有乘积的末4位都是0；并且11个连续两位数的乘积能被343=7×7×7整除,所以其中必须包含三个因数7,当第一个数或最后一个数是7的倍数时,11个数中有两个因数7,当第一个数和最后一个数都不是7的倍数时,11个数中有一个因数7,只有当其中包含49或98时,才有可能有三个因数7.综上所述,这11个连续两位数必须包含49和50,并以个位为0或5的数开始,符合条件的数可能是40到50或45到55,其中45到55的11个数中只有49包含两个因数7,而40到50的11个数中42包含一个因数7,49包含两个因数7,共三个因数7.所以40到50的11个连续两位数符合题意,它们的平均数为45.