已知{an}是首项为1的等差数列,{bn}是首项为2的等比数列,数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,

题目

已知{an}是首项为1的等差数列,{bn}是首项为2的等比数列,数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,
若S2=4b2,Sn/(n^2)的极限+Tn的极限=5,求数列{an}、{bn}的通项公式

答案

设an=1+d*(n-1),bn=2*q^(n-1)
那么由条件可以知道,
S2=a1+a2=2+d=4b2=8q,
而Sn=n+ n*(n-1)d/2,Tn=2(q^n -1)/(q-1)
显然在n趋于无穷时,Sn/(n^2)= [1+(n-1)d/2] /n的极限就等于d/2,
而只有在q的绝对值小于1的时候,n趋于无穷时Tn=2(q^n -1)/(q-1)的极限才会存在
即n趋于无穷时q^n -1趋于 -1,Tn趋于2/(1-q)
所以d/2 +2/(1-q)=5,而2+d=8q,
由这两个式子可以联立得到2q^2 -5q+2=0而q的绝对值小于1
解得d=2,q=0.5
于是两个数列的通项公式为：
an=2n-1,bn=2^(-n+2)