设f(X)=a^x+b同时满足条件f(X)=2和对任意x属于R都有f(X+1)=2f(X)-1成立

题目

设f(X)=a^x+b同时满足条件f(X)=2和对任意x属于R都有f(X+1)=2f(X)-1成立
（1）求f(X)的解析式
（2）设函数g(X)的定义域为[-2,2],且在定义域内g(x)=f(X),且函数好（X)的图像关于直线y=x对称.求h(X)
(3)求函数y-g(X)+h(X)的值域

答案

（1）由f(X+1)=2f(X)-1得a*a^x+b=2a^x+2b-1,则a=2且b=2b-1,即b=1
则f(X)=2^x+1.(条件f(X)=2,可能应是f(0)=2吧）
（2）由条件可得g(X)=2^x+1 -2<=x<=2 g(X)的值域为[5/4,5]
又g(x)与h(X)关于线y=x对称,则h(X)为g(x)的反函数,则
h(X)=log2(x-1) 5/4<=x<=5 (此处2为底数）
(3)y=g(X)+h(X)=2^x+1+log2(x-1) 5/4<=x<=2
其导函数y'=ln2*2^x+1/[ln2*(x-1)]在[5/4,2]上恒大于人,
故y=g(X)+h(X)在[5/4,2]单调递增,其值域为[2^(5/4)-1,5]