设有两个命题： ①“关于x的不等式x2+（a-1）x+a2＞0的解集是R”； ②“函数f（x）=（2a2+a+1）x是R上的减函数”． 若命题①和②中至少有一个是真命题，求实数a的取值范围．

题目

设有两个命题：
①“关于x的不等式x²+（a-1）x+a²＞0的解集是R”；
②“函数f（x）=（2a²+a+1）^x是R上的减函数”． 若命题①和②中至少有一个是真命题，求实数a的取值范围．

答案

若命题①为真命题，则△x＝(a−1)2−4a2＜0，…（2分）
解之得a＜−1或a＞

1

3

，…（5分）
若命题②为真命题，则0＜2a²+a+1＜1，…（7分）
解之得−

1

2

＜a＜0，…（10分）
所以至少有一个为真命题的a的取值范围为a＜−1或−

1

2

＜a＜0或a＞

1

3

．…（14分）

根据二次不等式恒成立的充要条件，可以求出命题①为真命题时，a的取值范围，根据指数函数的单调性与底数的关系，可以求出命题②为真命题时，a的取值范围，结合命题①和②中至少有一个是真命题可得a的取值范围

本题考点：命题的真假判断与应用．

考点点评：本题以命题的真假判断为载体考查了二次不等式恒成立的充要条件及指数函数的单调性，是函数与不等式问题的综合应用，难度中档