已知椭圆焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该圆相交于P、Q,且向量OP.OQ=0,|PQ|=√10,求椭圆的标准方程

题目

已知椭圆焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该圆相交于P、Q,且向量OP.OQ=0,|PQ|=√10,求椭圆的标准方程

答案

(1)当焦点在x轴上时,设椭圆方程为 x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 (a>b>0)将直线方程带入椭圆方程有 x^2/a^2 + (x+1)^2/b^2=1两边同乘(ab)^2有 (bx)^2 + (ax+a)^2 = (ab)^2展开并整理有 (a^2+b^2)x^2 + 2(a^2)x + a^2 = (ab)^2移向得 (a^2+b^2)x^2 + 2(a^2)x + a^2 - (ab)^2 = 0 ①设P(x1,y1),Q(x2,y2)由OP⊥OQ可得 向量OP · 向量OQ = 0代入得 x1x2+y1y2=x1x2+(x1+1)(x2+1)=2(x1x2)+(x1+x2)+1=0 ②由①中韦达定理得 x1x2=-[(ab)^2/(a^2+b^2)]x1+x2=-2[a^2/(a^2+b^2)]代入②得 -[2(ab)^2/(a^2+b^2)]-2[a^2/(a^2+b^2)]+1=0整理得 a^2-2(ab)^2+b^2=0做到这发现少了a与b的关系,应该是题目少条件了,如果知道焦距或者焦点的坐标就知道c,由a^2=b^2+c^2 可解得具体的a^2和b^2的值.(2)当焦点在y轴上时,类比(1)中过程可解得另一个解,不过两种情况都需要检验.