如图,菱形ABCD的边长为4,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=22. (1)求证:OM∥平面ABD; (2)求证:平面
题目
如图,菱形ABCD的边长为4,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=
2.
(1)求证:OM∥平面ABD;
(2)求证:平面DOM⊥平面ABC;
(3)求二面角D-AB-O余弦值.
答案
(1)∵O为AC的中点,M为BC的中点,∴OM∥AB.又∵OM⊄平面ABD,AB⊂平面ABD,∴OM∥平面ABD.(2)∵在菱形ABCD中,OD⊥AC,∴在三棱锥B-ACD中,OD⊥AC.在菱形ABCD中,AB=AD=4,∠BAD=60°,可得BD=4.∵O为BD的中...
(1)利用三角形中位线定理,证出OM∥AB,结合线面平行判定定理,即可证出OM∥平面ABD.
(2)根据题中数据,算出DO=
BD=2,OM=
AB=2,从而得到OD
2+OM
2=8=DM
2,可得OD⊥OM.结合OD⊥AC利用线面垂直的判定定理,证出OD⊥平面ABC,从而证出平面DOM⊥平面ABC.
(3)作OE⊥AB于E,连结DE,利用线面垂直的判定与性质证出AB⊥DE,可得∠DEO就是二面角D-AB-O的平面角. Rt△DOE中算出OE、DE的长,利用三角函数的定义算出cos∠DEO=
=
,即得所求二面角的余弦值.
二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.
本题给出平面折叠问题,求证线面平行、面面垂直并求二面角的余弦值,着重考查了线面平行判定定理、线面垂直与面面垂直的判定和二面角的平面角的定义与求法等知识,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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