设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,当x=1时,f(x)有极大值为4,当x=3时,f(x)有极小值为0,则f(x)等于几?

题目

设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,当x=1时,f(x)有极大值为4,当x=3时,f(x)有极小值为0,则f(x)等于几?

答案

f(x)=ax³+bx²+cx+d
求导得
f′(x)=3ax²+2bx+c
当x=1时,f(x)有极大值为4,则
f(1)=a+b+c+d=4 ①
f′(1)=3a+2b+c=0 ②
当x=3时,f(x)有极小值为0,则
f(3)=27a+9b+3c+d=0 ③
f′(3)=27a+6b+c=0 ④
联立①②③④解得
a=1 b=-6 c=9 d=0
所以
f(x)=x³-6x²+9x