如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA垂直底面ABCD,且PA=AD,E为棱PC上的一点,PD垂直平面ABE

题目

如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA垂直底面ABCD,且PA=AD,E为棱PC上的一点,PD垂直平面ABE
求证E为PC的中点

答案

建立空间坐标系求解.以A点为顶点,AD为X轴,AB为Y轴,AP为Z轴.设正方形边长为1,则其中的点有A(0,0,0),B(0,1,0),D(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1).设E(x,y,z).
向量有PD=（1,0,-1）,AE=（x,y,z）,BE=(x,y-1,z),PE=（x,y,z-1）,PC=(1,1,-1).
因为PD垂直平面ABE,所以有：向量PD×AE=0,PD×BE=0；则有:x-z=0,①
因为E在PC上,所以有,PE=mPC,即x=m,y=m,z-1=-m.解的：x=y=1-z,②
由①②可以解得：x=y=z=0.5.
因此E(0.5,0.5,0.5),所以E点为PC中点.