已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：b+c−aa+a+c−bb+a+b−cc＞3．

题目

已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：

b+c−a

a

+

a+c−b

b

+

a+b−c

c

＞3．

答案

∵a，b，c全不相等，
∴

b

a

与

a

b

，

c

a

与

a

c

，

c

b

与

b

c

全不相等
∴

b

a

+

a

b

＞2，

c

a

+

a

c

＞2，

c

b

+

b

c

＞2
三式相加得，

b

a

+

c

a

+

c

b

+

a

b

+

a

c

+

b

c

＞6
∴(

b

a

+

c

a

−1)+(

c

b

+

a

b

−1)+(

a

c

+

b

c

−1)＞3
即

b+c−a

a

+

a+c−b

b

+

a+b−c

c

＞3

根据a，b，c全不相等，推断出

b

a

与

a

b

，

c

a

与

a

c

，

c

b

与

b

c

全不相等，然后利用基本不等式求得

b

a

+

a

b

＞2，

c

a

+

a

c

＞2，

c

b

+

b

c

＞2，三式相加整理求得

b+c−a

a

+

a+c−b

b

+

a+b−c

c

＞3，原式得证．

本题考点：基本不等式．

考点点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．使用基本不等式时一定要把握好“一定，二正，三相等”的原则．