x的平方乘以(根号里a^2-x^2)的原函数是多少

题目

x的平方乘以(根号里a^2-x^2)的原函数是多少

答案

此题用换元积分法
令：x=a sint,t属于（-π/2.π/2）则dx=acostdt
原式：
∫x^2√(a^2-x^2)dx
=∫a^2 (sint)^2 * acost * acostdt
=a^4∫(sint)^2 * (cost)^2 dt
=(a^4)/4∫(sin2t)^2 dt
=(a^4)/8∫(1-cos4t)dt
=(a^4)/8[∫dt-∫cos4tdt]
=(a^4)/8[t-1/4 sin4t]
再把t换回来,太难得编辑了,分数又少,从略,