△ABC中,∠C=90度,AD平分角∠BAC,ED⊥BC于D,DF‖AB,求证：AD与EF互相垂直平分.

题目

△ABC中,∠C=90度,AD平分角∠BAC,ED⊥BC于D,DF‖AB,求证：AD与EF互相垂直平分.

答案

证明：因为∠C=90度,所以AC⊥BC
又因为ED⊥BC,所以AC//DE
又因为DF‖AB,所以四边形AFDE为平行四边形
因为AD平分角∠BAC,所以∠FAD=∠DAE
因为AE//DF,所以∠DAE=∠FDA
所以∠FAD=∠FDA
所以三角形AFD为等边三角形
所以AF=DF
因为一组邻边相等的平行四边形是菱形
所以平行四边形AEDF为菱形,
因为菱形的对角线互相垂直且平分
所以,AD与EF互相垂直平分.
（画个图对照看吧）