在四边形ABCD中,M、N分别是对角线AC、BD的中点,且AD、BC的延长线交于P,求证：S三角形PMN=1/4S四边形 ABC

题目

在四边形ABCD中,M、N分别是对角线AC、BD的中点,且AD、BC的延长线交于P,求证：S三角形PMN=1/4S四边形 ABC
在四边形ABCD中,M、N分别是对角线AC、BD的中点,且AD、BC的延长线交于P,求证：S三角形PMN=1/4S四边形ABCD

答案

证明 设E,F分别边AB,CD的中点,连ME,MF,NE,NF.
则ME‖BC,MF‖AD,NE‖AD,NF‖BC,
所以四边形EMFN为平行四边形.
由于NF‖BC,所以得:
S(PFN)=S(BNF)=S(BDF)/2=S(BDC)/4.(1)
同理可得:S(PFM)=S(ACD)/4.(2)
由于有
S(PMN)=S(PFN)+S(PFM)+S(FMN)
=[S(BDC)+S(ACD)]/4+S(EMFN)/2.(3)
所以只需证明:
S(EMFN)=[S(ABD)-S(ACD)]/2.(4)
延长EM,NF分别交AP于G,H.平行四边形ENHG的底EN=AD/2,EN上高[即EN与AB的距离]等于三角形ABD的边AB上的高的一半,所以
S(ENHG)=S(ABD)/2.
同理可得:S(FMGH)=S(ACD)/2.
故 S(EMFN)=S(ENHG)-S(FMGH)=[S(ABD)-S(ACD)]/2.
所以(4)式成立,
将(4)式代入(3)式即得所得结论.