已知函数f(x)＝1/3x3−ax2+1（a∈R）． （Ⅰ）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0平行，求a的值； （Ⅱ）若a＞0，函数y=f（x）在区间（a，a 2-3）上

题目

已知函数f(x)＝

1

3

x3−ax2+1（a∈R）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若a＞0，函数y=f（x）在区间（a，a ²-3）上存在极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a＞2，求证：函数y=f（x）在（0，2）上恰有一个零点．

答案

（Ⅰ）f'（x）=x2-2ax，…（1分）f'（1）=1-2a，…（2分）因为曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0平行所以1-2a=-1，…（3分）所以a=1．          ...

（Ⅰ）求导数，由题目条件知函数在x=1处的导数值为切线的斜率，从而建立关于a的方程，可求得a的值；
（Ⅱ）令f'（x）=0求出其解x=0或x=2a，根据条件a＞0，得不在区间（a，a²-3）内，利用要使函数在区间（a，a ²-3）上存在极值，建立关于a的不等式，求a的取值范围；
（Ⅲ）由（II）f'（x）=0求出其解，根据a＞2，得到f'（x）＜0在（0，2）上恒成立，函数f（x）在（0，2）内单调递减，从而得出结论．

本题考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，函数的零点，同时考查了导数的几何意义等，以及学生灵活转化题目条件的能力，是个中档题．