已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4,侧棱长为8,E,F分别是PB,PC上的点,求△AEF的周长最小值.
题目
已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4,侧棱长为8,E,F分别是PB,PC上的点,求△AEF的周长最小值.
答案
沿三棱锥P-ABC的侧棱PA剪开后再展开,如图,
原图中△AEF的周长最小,也就是展开图中的AA
′,
在△PAB中,因为PA=PB=8,AB=4,
设∠APB=α,则
cosα===
.
∠APA
′=3α,
由cos3α=4cos
3α-3cosα=
4×()3−3×=
.
在△APA
′中,由余弦定理得:
AA
′2=PA
2+PA
′2-2PA•PA
′cos3α
=
82+82−2×8×8×=121.
所以,AA
′=11.
所以,△AEF的周长最小值为11.
根据给出的正三棱锥的侧棱长和底面边长知,两条侧棱的夹角为锐角,然后求出该锐角的三倍角的余弦值,使原图形中的
△AEF的周长最小,就是求沿PA剪开再展开后A点与A′点的最短距离,即直线距离,运用余弦定理可求解.
棱锥的结构特征.
本题考查了棱锥的结构特征,考查了距离最短问题,该类问题通常比喻“蚂蚁爬行问题”,解答的方法是沿一定的棱或母线把多面体或旋转体剪开,然后再展开,求两点间的直线距离问题,是中档题.
举一反三
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