在长方形ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.

题目

在长方形ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
（1）D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时,求点E到平面ACD1的距离；
（2）AE为何值时,二面角D1-EC-D的大小为45°

答案

证明：(1).在矩形AA1D1D中,AD=AA1=1
则矩形AA1D1D是正方形
所以A1D⊥AD1
又AB⊥平面AA1D1D,A1D在平面AA1D1D内
则AB⊥A1D
因为AB与AD1是平面ABC1D1内的两条相交直线
所以由线面垂直的判定定理可得：
A1D⊥平面ABC1D1
因为D1E在平面ABC1D1内
所以D1E⊥A1D
(2).设点E到平面ACD1的距离为d
则三棱锥D1-ACE的体积：
V＝1/3 *d*(S_△ACD1)=1/3 *DD1*(S_△ACE)
即d=DD1*(S_△ACE)/(S_△ACD1)=(S_△ACE)/(S_△ACD1) （×）
以下求△ACD1的面积
作AD中点O,连结CO
在长方体中,AD=AA1=1,AB=2
易得面对角线AC=CD1=√5,AD1=√2
则AO=OD=√2/2,所以：
CO⊥AD1且由勾股定理得：CO=√(5-1/2)=(3√2)/2
所以S_△ACD1=1/2 *AD1*CO=1/2 *√2*(3√2)/2=3/2
又S_△ACE＝1/2 *BC*AE=1/2 *1*1=1/2
则由上述（×）式可得：
d=(S_△ACE)/(S_△ACD1) =(1/2)/(3/2)=1/3
即当E为AB的中点时,求点E到平面ACD1的距离为1/3
(3).过点D作DP⊥CE,垂足为P,连结D1P,DE
因为D1D⊥平面ABCD,所以D1P在平面ABCD内的射影是DP
又在平面ABCD内DP⊥CE
则由三垂线定理可得 ：D1P⊥CE
所以∠DPD1就是二面角D1-EC-D的平面角
二面角D1-EC-D的大小为45°,即∠DPD1＝45°
易知△DD1P是等腰直角三角形
所以DP=DD1=AD=1
又DE是Rt△DAE和Rt△DPE的公共边
所以Rt△DAE≌Rt△DPE （HL）
则AE=PE
令AE=PE=a
则BE=AB-AE=2-a
由勾股定理：CE= √(BE²+BC²)=√[(2-a)²+1]
在Rt△DPC中,CD=2,DP=1,则CP=√3
因为CE=CP+PE
所以√[(2-a)²+1]=√3 +a
即(2-a)²+1＝(√3 +a)²
4-4a+a²+1=3+2√3*a+a²
2(2+√3)a=2
解得a=2-√3
所以AE为2-√3时,二面角D1-EC-D的大小为45°