设非零向量e1与e2不共线

题目

设非零向量e1与e2不共线
(1)如果AB=e1+e2,BC=2e1+8e2,CD=3e1-3e2,求证 A、B、D三点共线
(2)若|e1|=2,|e2|=3,e1与e2的夹角为60°,是否存在实数m,使得(me1+e2)与(e1-e2)垂直,并说明理由.
（以上均为向量）

答案

1.AB=e1+e2,BD=BC+CD=2e1+8e2+3e2-3e2=5e1+5e2=5(e1+e2)=5AB,所以A,B,D三点共线
2.如果存在实数m使得(me1+e2)⊥(e1-e2),则(me1+e2)·(e1-e2)=0,即me1·e1-me1·e2+e1·e2-e2·e2=0.现在已知|e1|=2,|e2|=3,e1与e2的夹角为60°,则e1·e1=4,e2·e2=9,e1·e2=2×3×cos60°=3,所以由me1·e1-me1·e2+e1·e2-e2·e2=0得到4m-3m+3-9=m-6=0,所以m=6