如图，已知A、B两点的坐标分别为(23，0)、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为 _ ．

题目

如图，已知A、B两点的坐标分别为(2

3

，0)、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为 ___ ．

答案

∵OB=2，OA=2

3

，
∴AB=

OA2+ OB2

=4，
∵∠AOP=45°，
P点横纵坐标相等，可设为a，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（

3

，1），
P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2．
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP=90°，
∴PF=a-1，CF=a-

3

，PC=2，
∴（a-

3

）²+（a-1）²=2²，舍去不合适的根，
可得a=1+

3

，
P（1+

3

，1+

3

）．
故答案为：（

3

+1，

3

+1）．

由于P点在第一象限，由勾股定理即可求得P点的坐标．

本题考点：解直角三角形；坐标与图形性质；圆周角定理．

考点点评：此题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合应用能力．